このページでは、NumPy を用いて線形代数 (Linear Algebra) の計算を解く方法について解説します。
ベクトルのドット積 (点乗積)
ドット積 (a・b) は、np.dot(a, b) で計算できます。
ドット積は、1 次元配列ではベクトルの内積、2 次元配列では行列の積と同じ結果になります。
サンプルコード
import numpy as np # 整数同士のドット積（通常の掛け算と同じになります） # 3・4 np.dot(3, 4) # 行列同士のドット積 # (2, 3)・(2, 3) np.dot([2, 3], [2, 3]) # 複素数を扱うこともできます # (2j, 3j)・(2j, 3j) np.dot([2j, 3j], [2j, 3j]) # 2 次元行列同士のドット積を計算できます。 a = [[1, 0], [0, 1]] b = [[4, 1], [2, 2]] np.dot(a, b)
実行結果
>>> np.dot(3, 4)
12
>>> np.dot([2, 3], [2, 3])
13
>>> np.dot([2j, 3j], [2j, 3j])
(-13+0j)
>>> a = [[1, 0], [0, 1]]
>>> b = [[4, 1], [2, 2]]
>>> np.dot(a, b)
array([[4, 1],
[2, 2]])
ベクトルの内積
ベクトルの内積 (a・b) は np.inner(a, b) のようにして計算できます。
サンプルコード
# 通常のベクトル同士の内積 # (1, 2, 3)・(0, 1, 0) a = np.array([1, 2, 3]) b = np.array([0, 1, 0]) np.inner(a, b) # 多次元ベクトルの内積を計算 a = np.arange(24).reshape((2,3,4)) a b = np.arange(4) b np.inner(a, b) # b がスカラーの場合は以下のように指定します a = np.eye(2) a np.inner(np.eye(2), 7)
実行結果
>>> a = np.array([1, 2, 3])
>>> b = np.array([0, 1, 0])
>>> np.inner(a, b)
2
>>> a = np.arange(24).reshape((2,3,4))
>>> a
array([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],
[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]])
>>> b = np.arange(4)
>>> b
array([0, 1, 2, 3])
>>> np.inner(a, b)
array([[ 14, 38, 62],
[ 86, 110, 134]])
>>> a = np.eye(2)
>>> a
array([[ 1., 0.],
[ 0., 1.]])
>>> np.inner(np.eye(2), 7)
array([[ 7., 0.],
[ 0., 7.]])
ベクトルの外積
ベクトルの外積 (a×b) は、np.outer(a, b) のようにして計算できます。
サンプルコード
##マンデルブロット (Mandelbrot) rl = np.outer(np.ones((5,)), np.linspace(-2, 2, 5)) rl im = np.outer(1j*np.linspace(2, -2, 5), np.ones((5,))) im grid = rl + im grid # 文字列をベクトルとして計算することもできます x = np.array(['a', 'b', 'c'], dtype=object) np.outer(x, [1, 2, 3])
実行結果
>>> rl = np.outer(np.ones((5,)), np.linspace(-2, 2, 5))
>>> rl
array([[-2., -1., 0., 1., 2.],
[-2., -1., 0., 1., 2.],
[-2., -1., 0., 1., 2.],
[-2., -1., 0., 1., 2.],
[-2., -1., 0., 1., 2.]])
>>> im = np.outer(1j*np.linspace(2, -2, 5), np.ones((5,)))
>>> im
array([[ 0.+2.j, 0.+2.j, 0.+2.j, 0.+2.j, 0.+2.j],
[ 0.+1.j, 0.+1.j, 0.+1.j, 0.+1.j, 0.+1.j],
[ 0.+0.j, 0.+0.j, 0.+0.j, 0.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.-1.j, 0.-1.j, 0.-1.j, 0.-1.j, 0.-1.j],
[ 0.-2.j, 0.-2.j, 0.-2.j, 0.-2.j, 0.-2.j]])
>>> grid = rl + im
>>> grid
array([[-2.+2.j, -1.+2.j, 0.+2.j, 1.+2.j, 2.+2.j],
[-2.+1.j, -1.+1.j, 0.+1.j, 1.+1.j, 2.+1.j],
[-2.+0.j, -1.+0.j, 0.+0.j, 1.+0.j, 2.+0.j],
[-2.-1.j, -1.-1.j, 0.-1.j, 1.-1.j, 2.-1.j],
[-2.-2.j, -1.-2.j, 0.-2.j, 1.-2.j, 2.-2.j]])
>>> x = np.array(['a', 'b', 'c'], dtype=object)
>>> np.outer(x, [1, 2, 3])
array([['a', 'aa', 'aaa'],
['b', 'bb', 'bbb'],
['c', 'cc', 'ccc']], dtype=object)
単位行列 (identity array)
対角成分が1でそれ以外が全て0の行列 (単位行列) は、 例えば、N次の単位行列の場合、np.identity(N)で作成できます。
サンプルコード
# 3 次の単位行列 np.identity(3) # 4 次の単位行列 np.identity(4)
実行結果
>>> np.identity(3)
array([[ 1., 0., 0.],
[ 0., 1., 0.],
[ 0., 0., 1.]])
>>> np.identity(4)
array([[ 1., 0., 0., 0.],
[ 0., 1., 0., 0.],
[ 0., 0., 1., 0.],
[ 0., 0., 0., 1.]])
固有値、固有ベクトル
固有値と固有ベクトルの計算は、numpy.linalg パッケージ (本例では、LAとして読み込み) に含まれる、LA.eig() を用いて計算できます。
なお、固有ベクトルは正規化 (大きさ= 1) された状態で、出力されます。
サンプルコード
# numpy.linalg パッケージを読み込み from numpy import linalg as LA # 2 次行列 [[3, 1], [2, 4]] の固有値、固有ベクトル matrix1 = np.array([[3, 1], [2, 4]]) w, v = LA.eig(matrix1) w # 固有値 v # 固有ベクトル(正規化済) # 3 次行列 [[1, -1, 2], [0, 2, -1], [0, 0, 3]] の固有値、固有ベクトル matrix2 = np.array([[1, -1, 2], [0, 2, -1], [0, 0, 3]]) LA.eig(matrix2) w # 固有値 v # 固有ベクトル(正規化済)
実行結果
>>> matrix1 = np.array([[3, 1], [2, 4]])
>>> matrix1
array([[3, 1],
[2, 4]])
>>> w, v = LA.eig(matrix1)
>>> w # 固有値
array([ 2., 5.])
>>> v # 固有ベクトル(正規化済)
array([[-0.70710678, -0.4472136 ],
[ 0.70710678, -0.89442719]])
固有値のみを求める場合は、LA.eigvals() を用いて計算できます。
サンプルコード
# 2 次行列 [[3, 1], [2, 4]] の固有値 LA.eigvals(matrix1) # 3 次行列 [[1, -1, 2], [0, 2, -1], [0, 0, 3]] の固有値 LA.eigvals(matrix2)
実行結果
>>> LA.eigvals(matrix1) array([ 2., 5.]) >>> LA.eigvals(matrix2) array([ 1., 2., 3.])
行列式の値 (determinant)
行列式の値は、np.linalg.detを用いて計算できます。内部的には、LU 分解で計算しているようです。
サンプルコード
# 2次の正方行列 [[1, 2], [3, 4]] の行列式の値 a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) np.linalg.det(a)
実行結果
>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) >>> np.linalg.det(a) -2.0000000000000004
逆行列 (Inverse Matrix)
逆行列は、np.linalg.inv()で求めることができます。
サンプルコード
# 2 次の行列 A = [[1, 2], [3, 4]] の逆行列 A^-1 from numpy.linalg import inv a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) inv(a) # 確認 (A・A^-1 = 単位行列 になることを確認) ainv = inv(a) np.dot(a, ainv)
実行結果
>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> inv(a)
array([[-2. , 1. ],
[ 1.5, -0.5]])
>>> ainv = inv(a)
>>> np.round(np.dot(a, ainv))
array([[ 1., 0.],
[ 0., 1.]])
行列式のランク (階数)
Rank (行列の階数) は、np.linalg.matrix_rank 関数にて算出できます。
サンプルコード
# numpy.linalg から matrix_rank 関数をロード from numpy.linalg import matrix_rank # 行列 [[1, 2, 3],[3, 2, 1],[2, 4, 6]] のランクを求めます。 matrix1 = np.array([[1, 2, 3], [3, 2, 1], [2, 4, 6]]) matrix1 matrix_rank(matrix1) # 対角行列の場合は常に次数と同じになります matrix2 = np.eye(4) matrix2 matrix_rank(matrix2)
実行結果
>>> matrix1 = np.array([[1, 2, 3], [3, 2, 1], [2, 4, 6]])
>>> matrix1
array([[1, 2, 3],
[3, 2, 1],
[2, 4, 6]])
>>> matrix_rank(matrix1)
2
>>> matrix2 = np.eye(4)
>>> matrix2
array([[ 1., 0., 0., 0.],
[ 0., 1., 0., 0.],
[ 0., 0., 1., 0.],
[ 0., 0., 0., 1.]])
>>> matrix_rank(matrix2)
4
零行列
零行列 (全ての成分が 0) の行列は np.zeros() にて作成できます。
サンプルコード
# 長さが 3 の零行列 np.zeros(3) # 長さが 4 x 4 の零行列 np.zeros([4, 4])
実行結果
>>> np.zeros(3)
array([ 0., 0., 0.])
>>> np.zeros([4, 4])
array([[ 0., 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0., 0.]])
ノルム
ベクトル a = [1,2,3,4] のノルム ||a||は、LA.norm() を利用して計算できます。
サンプルコード
from numpy import linalg as LA a = np.array([1, 2, 3, 4]) LA.norm(a) # 2 次の行列 b = [[1, 2], [3, 4]] のノルム ||b|| は以下のように計算できます。 b = np.array([[1, 2], [3, 4]]) LA.norm(b)
実行結果
>>> a = np.array([1, 2, 3, 4]) >>> LA.norm(a) 5.4772255750516612 >>> b = np.array([[1, 2], [3, 4]]) >>> LA.norm(b) 5.4772255750516612